Wie lassen sich Dinge oder Objekte anordnen, die eigentlich nicht vergleichbar sind? Der PhD-Student Daniel Kostner und der Mathematikprofessor Andreas Hamel haben gemeinsam eine Lücke in der Statistik geschlossen.

Nicht nur in der Liebe, auch in der Wissenschaft schlägt manchmal der sprichwörtliche Blitz ein. Beim Mathematik-Professor Andreas Hamel und dem PhD-Studenten Daniel Kostner geschah dies im Rahmen eines Come togethers der neuen Doktoratsanwärter mit den Professoren der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften der Freien Universität Bozen. Auf der einen Seite der Professor für Mathematik mit einer Vorliebe für abstrakte Fragestellungen, einer ostdeutschen Vergangenheit und Auslandsjahren an US-Universitäten in Princeton und New York. Auf der anderen, ein junger Südtiroler Wirtschaftswissenschaftler, der in seinen Studienjahren in Mailand und Wien und bei einem Consultingjob bei PricewaterhouseCoopers in München nie genug von quantitativen Fragestellungen bekommen hatte können.

„Ich liebe simple und exakte Dinge, und dafür ist die Mathematik wie geschaffen“, sagt der Brunecker mit Gadertaler Wurzeln. „Mathe ist wie eine Sprache, die dafür designed wurde, über spezielle Dinge extrem präzise Aussagen machen zu können“, schwärmt auch Andreas Hamel. Seinen nunmehrigen Doktoratsstudenten erkannte der Mathematikprofessor gewissermaßen, als bei ihrem Zusammentreffen das erste Mal das Wort „quantitativ“ fiel: „Wir haben uns angeschaut, und von dem Moment an hat keiner von uns mehr nach einer Alternative gesucht“, lacht Andreas Hamel.

Fast vier Jahre später steht die von Hamel betreute Doktorarbeit unmittelbar vor ihrem Abschluss. Und hat das Zeug, endlich eine Antwort auf eine alte und bisher unzureichend gelöste Frage der Statistik zu liefern: Wie können Objekte, die mehrere Eigenschaften haben, über ein Quantil miteinander verglichen und geordnet werden? So exakt die Mathematik dies mit Zahlen hinbekommt, so unelegant sind die Lösungen, die sie bisher für mehrdimensionale Variable anbieten kann. Ein simples Beispiel, das der Mathematikprofessor dafür gibt: die Frage, ob ein Fiat oder ein Ferrari besser sei. „Klar ist ein Ferrari schneller und cooler, doch einen Fiat kann sich dafür fast jeder kaufen“, sagt Andreas Hamel. Je nachdem aus welcher Perspektive, die Frage betrachtet wird, fällt die Antwort also anders aus.

Andreas Hamel und Daniel Kostner bilden in Sachen Set Optimization ein visionäres Duo.

Diese Nicht-Vergleichbarkeit schafft in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren Probleme. Einen Teil davon konnte der Professor der Freien Universität Bozen bereits lösen. Vor 15 Jahren begründete Andreas Hamel mit seiner Habilitationsschrift gemeinsam mit seinem Kollegen Andreas Löhne einen neuen Teilbereich der Mathematik: Dank der sogenannten set optimization, der Mengenoptimierung, gelingt es, komplexe Datenmengen ähnlich zueinander in Relation zu setzen wie Zahlen. Ein Modell, das auch in der Finanzmathematik erfolgreich eingesetzt wird – wo es beispielsweise ermöglicht, Operationen mit unterschiedlichen Währungen problemlos zu bewältigen, weil die Transaktionskosten darin automatisch integriert werden können.

Daniel Kostner bot die set optimization eine Basis, auf der er seine Doktorarbeit im Bereich der multivariaten Statistik aufbauen konnte. Denn auch dort gerät die exakte Wissenschaft Mathematik leicht ins Schleudern, wenn der Bereich der Zahlen verlassen wird. Nicht zuletzt beim Quantil, also dem Lagemaß, das festlegt, wie viele Werte einer Verteilung über oder unter einer bestimmten Grenze liegen. So einfach seine Bestimmung in der Einkommensberechnung mit dem sogenannten Median gelingt, so schwierig wird sie bei multidimensionalen Vektoren.

Dank der set optimization und der Inspiration durch ein bereits bestehendes Hilfskonzept, der sogenannten Tukey depth functions, gelangten Kostner und Hamel jedoch zu einer Lösung. Mit dem neuen Konzept der mengenwertigen Quantile gelang es ihnen, mehrdimensionale Objekte wie Zahlen anzuordnen und zugleich Unvergleichbares nicht unter den Tisch fallen zu lassen. „Die Quantile fungieren in diesem Fall als eine Art Hülle, die multivariate Objekte gruppiert und in Relation zueinander setzt“, erklärt Daniel Kostner. Weit mehr als statistische Akrobatik, wenn man bedenkt, wie komplex die Entscheidungen werden, die Maschinen heute treffen müssen – und erst recht in Zukunft treffen werden müssen. Man muss nur an das oft zitierte selbstfahrende Auto denken, um eine Ahnung zu bekommen, wie viele unterschiedliche Variablen – von Straßenlage, Wetter bis hin zu Verkehrsregeln – ein solches Auto einordnen und in eine Hierarchie zueinander setzen muss.

Noch ist es zu früh abzuschätzen, wie hoch die technologischen Sprünge sein werden, die dank des neuen Lösungsansatzes des unibz-Doktoranten und seines Professors möglich werden. In einem zweiten und dritten Teil seiner PhD-Arbeit hat Daniel Kostner aber bereits ein konkretes Anwendungsbeispiel für solch multivariate Quantile in Form eines Multi- Criteria-Decision-Making-Ansatzes samt dem dazugehörigen Algorithmus erarbeitet. Ein System, das Entscheidungen auf Basis von unterschiedlichen und auch miteinander in Konflikt stehenden Kriterien ermöglicht, wie beispielsweise bei den Empfehlungen, die uns Amazon oder Spotify aufgrund bisher getätigter Käufe oder gehörter Musik geben.

Vor wenigen Wochen wurde Daniel Kostners und Andreas Hamels Paper zu den mengenwertigen Quantilen vom „Journal of Multivariate Analysis“ veröffentlicht – und stieß nicht nur dort auf großes Interesse. Bis Ende August will Kostner nun den letzten Teil seiner Doktorarbeit abschließen. Danach erwartet ihn bereits ein nächstes Forschungsprojekt: Gemeinsam mit Prof. Alex Weissensteiner, der auch an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften lehrt und forscht, erarbeitet er für Obstbauern eine individuelle Entscheidungshilfe, mit welcher Option sie sich am günstigsten gegen Hagel schützen. Damit wird selbst die heimische Landwirtschaft von den neu entdeckten Dimensionen des Quantils profitieren.

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